Tích của một họ bất kỳ các không gian compact thì compact trong tô pô tích đó.[1]

Chứng minh định lý

Cho X i {\displaystyle X_{i}} compact i ∈ I {\displaystyle i\in I} . Chúng tasẽ chứng minh: X := ∏ i ∈ I X i , {\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},} compact thông qua đặc trưngtập đóng trong Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact.[2]

Cho F {\displaystyle {\mathcal {F}}} là một họ bất kỳ các tập con đóng của X {\displaystyle X} có tínhgiao hữu hạn. Ta chứng minh F {\displaystyle {\mathcal {F}}} có phần giao khác rỗng,tức là ⋂ A ∈ F A ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {F}}}A\neq \emptyset } . {\displaystyle } Xét họ { p i ( A ) ¯ | ∀ A ∈ F } {\displaystyle \left\{{\overline {p_{i}(A)}}|\quad \forall A\in {\mathcal {F}}\right\}} với p i : X ⟶ X i {\displaystyle p_{i}:X\longrightarrow X_{i}} là tập con đóng của X i {\displaystyle X_{i}} có phần giao hữu hạn.Vì X i {\displaystyle X_{i}} compact nên có phần giao khác rỗng. Suy ra có x i ∈ p i ( A ) ¯ ∀ A ∈ F {\displaystyle x_{i}\in {\overline {p_{i}(A)}}\quad \forall A\in {\mathcal {F}}}

Từ đó cho thấy F {\displaystyle {\mathcal {F}}} có phần giao khác rỗng, nhưng điều đólà không đúng như hình vẽ sau:

Phản ví dụ

Khi đó ý tưởng của Tikhonov là mở rộng họ F {\displaystyle {\mathcal {F}}}

∃ F ~ ⊃ F {\displaystyle \exists {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}\supset {\mathcal {F}}} , F ~ {\displaystyle {\mathcal {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}}} là cực đại dưới tính giao hữu hạn. (Bổ đề Zorn)

Sẽ lặp lại lý luận trên với F ~ {\displaystyle {\mathcal {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}}} thay vì F {\displaystyle {\mathcal {F}}} .

Xét họ { p i ( A ) ¯ , | A ∈ F ~ } {\displaystyle \{{\overline {p_{i}(A)}},|\,A\in {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}\}}

là họ các tập con đóng của X i {\displaystyle X_{i}} có tính giao hữu hạn.

X i {\displaystyle X_{i}} compact nên tồn tại x i ∈ ⋂ A ∈ F ~ p i ( A ) ¯ {\displaystyle x_{i}\in \bigcap _{A\in {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}}{\overline {p_{i}(A)}}}

Cho x i ∈ ⋂ A ∈ F ~ p i ( A ) ¯ {\displaystyle x_{i}\in \bigcap _{A\in {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}}{\overline {p_{i}(A)}}} và x = ( x i ) i ∈ I ∈ ∏ i ∈ I [ ⋂ A ∈ F ~ p i ( A ) ¯ ] {\displaystyle x=(x_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}\left[\bigcap _{A\in {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}}{\overline {p_{i}(A)}}\right]}

Chứng minh x ∈ ⋂ A ∈ F ~ A {\displaystyle x\in \bigcap _{A\in {\widetilde {F}}}A}

tức là chứng minh x ∈ A ¯ ∀ A ∈ F ~ {\displaystyle x\in {\overline {A}}\quad \forall A\in {\mathcal {\widetilde {F}}}}

Lấy một lân cận bất kỳ của x {\displaystyle x} có dạng ∏ i ∈ I O i {\displaystyle \prod _{i\in I}O_{i}} với O i {\displaystyle O_{i}} mởtrong X i {\displaystyle X_{i}}

Do x i ∈ p i ( A ) ¯ {\displaystyle x_{i}\in {\overline {p_{i}(A)}}} nên x i {\displaystyle x_{i}} là điểm dính của p i ( A ) {\displaystyle p_{i}(A)} suy ra O i {\displaystyle O_{i}} chứa điểm của p i ( A ) {\displaystyle p_{i}(A)} .

Nên

O i ∩ p i ( A ) ≠ ∅ {\displaystyle O_{i}\cap p_{i}(A)\neq \emptyset } với mọi A ∈ F ~ {\displaystyle A\in {\mathcal {\widetilde {F}}}} p i − 1 ( O i ) ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle p_{i}^{-1}(O_{i})\cap A\neq \emptyset } với mọi A ∈ F ~ {\displaystyle A\in {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}}

Suy ra p i − 1 ( O i ) ∪ F ~ {\displaystyle p_{i}^{-1}(O_{i})\cup {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}} vẫncó tính giao hữu hạn.

Do F ~ {\displaystyle {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}} là cực đại dưới tính giaohữu hạn nên p i − 1 ( O i ) ∈ F ~ {\displaystyle p_{i}^{-1}(O_{i})\in {\mathcal {\mathcal {\widetilde {F}}}}} .

Suy ra

⋂ i ∈ I p i − 1 ( O i ) ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{i\in I}p_{i}^{-1}(O_{i})\cap A\neq \emptyset } với mọi A ∈ F ~ {\displaystyle A\in {\widetilde {F}}} ⟹ ∏ i ∈ I O i ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle \Longrightarrow \prod _{i\in I}O_{i}\cap A\neq \emptyset } với mọi A ∈ F ~ {\displaystyle A\in {\widetilde {F}}}

Suy ra x ∈ A ¯ ∀ A ∈ F ~ {\displaystyle x\in {\overline {A}}\;\forall A\in {\widetilde {F}}}

Vậy x ∈ ⋂ A ∈ F ~ A {\displaystyle x\in \bigcap _{A\in {\widetilde {F}}}A} hay ⋂ A ∈ F ~ A ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{A\in {\widetilde {F}}}A\neq \emptyset } . ◼ {\displaystyle \blacksquare }